Nuevos calculos en predicción del tiempo

Fchorro – Froce = m dv/dt
Fchorro = ρ(v2)(A) = 1000 (kg/m3) ( 5,378-0,05124t)2 (0,00051m2)
Froce= 0,5 (Cp)( ρ)(A)(v)2 = 0,5 *(Cp) *1000 (kg/m3)* 0,022 m2*( v(t))2
M dv/dt = 1,97 kg (dv/dt)

Reemplazando:
1,97 kg (dv/dt) = 1000 (kg/m3) ( 5,378-,05124t)2 (0,00051m2) – 0,5 (Cp)( ρ)(A)(v)2 = 0’5 *(Cp) *1000 (kg/m3)* 0,022 m2*( v(t))2
Entonces, la aceleración las ,4 metros primeros es igual a:
dv/dt= 0,2589 (5,378-,05124t)2 – 5,584 (Cp)(v)2

Después de que el barco ha recorrido los ,4 metros primeros, vamos a ver que la aceleración (negativa) será igual a:
(– Froce) /m = dv/dt
La cual sería aproximadamente igual a:
dv/dt= – 5,584 (Cp)(v)2

Ahora, por pruebas en el laboratorio, encontramos que el constante Cb es igual en el caso nuestro a 0,67
Entonces, reemplazando:
dv/dt= 0,2589 (5,378-,05124t)2 – 3,34128(v)2 x<4m
dv/dt= – 3,34128(v)2 x>4m


Tiempos testeados en laboratorio:

Intento Tiempo (s)
1 11,4
2 12,53
3 11,22
4 12,4
5 12,9
6 11,23
promedio 11,947

Modificaciones finales a la embarcación

En vista de que nuestra embarcación resultó bastante inestable, nos vimos en la obligación de realizar unos últimos toques y pequeños arreglos al barco.
Estas fueron básicamente las siguientes:

• Quilla de 25cm de alto con un tornillo usado como peso.



• Placa de mayor tamaño para que reciba en plenitud el impacto del chorro.



• Alas de plumavit que entregan una mejor estabilidad al barco.



• Área frontal del barco: 0.22m2



• Peso del barco (sin botella): 0.95kg

Predicción del tiempo

Consideramos la segunda ley de Newton en el eje x, tal como:
Fchorro – Froce= m_barco * a_barco
Cuando:
a_barco= aceleración de barco con respeto a coordenadas fijas al barco
m_barco= masa de barco
Fchorro= fuerza que el chorro ejerce sobre la placa=
ρ (Vchorro(t)) ^2 *Achorro = 2 ρQVe
Sabemos que : Q= As*Vs= 0,00274278 m3/s (t=0)
Froce= fuerza de roce sobre el barco en movimiento =
0,5 ρv(t) ^2*Abarco*C
Abarco=0,012 m2

Nota: Vrel= Vchorro(t) – V(t) , cuando es la velocidad del barco con respeto a coordenadas fijas del barco

Entonces, por
d/dt v(t)=(2ρQVe-0.5ρv(t)^2 Abarco C)/m_barco
Recordemos que Vchorro= -0,05124t+5,378
Ahora, es posible encontrar una ecuación diferencial entre la velocidad del bote, v(t), con respeto a la fuerza ejercida sobre el barco por el chorro (la cual es será relativa con respecto a la velocidad v(t) del bote,Vrel= Vchorro(t) – V(t)) y la fuerza de roce. Además, sabiendo que el chorro de agua estimado a alcanzar 0.4 metros, cuando tengamos el valor del constante C, podremos ser capaces de estimar la fuerza ejercida sobre esos 0.4 metros y la velocidad del bote cuando x= 0.4 metros. Esto nos permitirá estimar el tiempo necesario para recorrer los últimos 4.6 metros.

Materiales

Dentro de los materiales que usamos en nuestro modelo, están:

PAI : Polietileno de alto impacto.
Diluyente MEK o Acetona industrial.

Conservación de Energía

Al realizar conservación de la energía debemos despreciar los cambios en el tiempo para aplicar Bernoulli entre la superficie libre del estanque y la salida del chorro.
La ecuación de Bernoulli nos dice que

H=z+ P/γ+ (V^2)/2g

Aplico esto para la sección de entrada del estanque y a la salida del chorro.

Debemos apreciar que las presiones en ambas secciones son iguales, por lo tanto nuestro H sólo dependerá de dos variables (altura y velocidad).

Al realizar un balance entre ambas secciones ya mencionadas, llegamos a que:

2-h(t)+ (Ve^2)/2g=0.5+(Vs^2)/2g

Ya sabemos que:

Vs= -(Ae/As) (∂h/∂t) , y por otro lado Ve=∂h/∂t , con lo que se obtiene

2-h(t)+ 1/2g (∂h/∂t)^2=0.5+1/2g ([Ae/As] * [∂h/∂t])^2

Reemplazando para ∂h/∂t se llega a qué: (∂h/∂t)^2=(2g(1,5-h(t)))/((Ae/As )^2- 1)

Lo cual es una ecuación diferencial, donde conocemos Ae , As y g= 9.8

Ae= 0.096 m^2
As= 0.00051 m^2

Con estos valores, obtenemos que:
(∂h/∂t)^2= 0.00082+0.00054h(t)

Resolviendo para h(t):
h(t)=-0.0001361t^2+ 0.02857t

Para obtener la velocidad de salida del chorro, necesitamos el caudal, así que derivamos esta función respecto de t, con lo cual resulta:

∂h/∂t= -0.0002722t+ 0.02857

Así, nuestra velocidad de salida es:

Vs=(Ae/As)( ∂h/∂t) = 188.24 (0.0002722t+ 0.02857)
Vs= 0.05124t+5,378

Por lo tanto, la velocidad inicial de salida sería 5,378 m/s , y por cada segundo disminuiría en 0.5124 m/s

Aplicando la fórmula mencionada en un comienzo, logramos obtener el caudal.
Q=As *Vs= 0.00274278 (m^3)/s

Conservación de la masa

Análisis del sistema de propulsión

Para realizar este análisis, debemos considerar la conservación de la masa, de la energía y así obtendremos un caudal aproximado que sale por el chorro.